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算法导论_第九章_中位数和顺序统计量

最小值和最大值

在一个有n个元素的集合中，至少要n-1次比较才能找到最小值或最大值。

如果同时找最大值和最小值，只需要3*(n/2)次比较，因为对于两个数，首先对这两个数

进行比较，较大的一个与最大值比较，较小的一个与最小值比较，这样就找到了最大最

小值。

期望为线性的选择算法

利用快排中的分治思想找到第i大的数字

下面上代码：

/*************************************************************************
	> File Name: randomized_select.cpp
	> Author:chudongfang 
	> Mail:1149669942@qq.com 
	> Created Time: 2016年06月29日 星期三 16时17分58秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
int randomized_select(int A[],int p,int r,int i);
int randomized_partition(int A[],int p,int r);
void swap(int *x,int *y){int t;  t=*x;  *x=*y;   *y=t; }
int main(int argc,char *argv[])
{
    int A[100];
    int n,m;
    printf("please input the number of array:");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&A[i]);
        
    printf("please input the number you want get:");
    scanf("%d",&m);
    printf("%d",randomized_select(A,1,n,m));
    
    return 0;
}

int randomized_select(int A[],int p,int r,int i)
{
    if(p==r)//如果只剩一个元素，直接返回
        return A[p];
    int q=randomized_partition(A,p,r);//分割
    int k=q-p+1;//分割左边的长度
    if(i==k) //如果正好为第i大的元素，返回
        return A[q];
    else if(i<k)//如果其比i大，在左边数组中找
        return randomized_select(A,p,q-1,i);
    else  
        return randomized_select(A,q+1,r,i-k);//如果其比i小，在右边数组中找
}

int randomized_partition(int A[],int p,int r)
{
    int y=p+rand()%(r+1-p);//随机交换A[r]
    swap(A+y,A+r);
    int x=A[r];//以这个元素为主元，即拿这个元素与其他元素比较
    int i=p-1;//i为最左边元素减一
    //其中，从p到i为小于等于x的子数组1，而从i+1到j为大于等于x的子数组2，
    //从j+1到r-1表示的是还未进行分配的子数组
    //而元素r为主元
    for(int j=p;j<=r-1;j++)
    {
        if(A[j]<=x)
        {
            i++;//子数组1加入一个元素
            //加一后的i大于等于x
            swap(A+i,A+j);
            //交换后其恢复原来“秩序”
        }
    }
    
    swap(A+i+1,A+r);//把主元放到合适的位置。
    return i+1;//返回主元的位置
}

经分析，其时间为线性的，为O(n)

最坏情况为线性时间的算法SELECT

1.将输入数组的n个元素划分为[n/5]组，每组5个元素，且至多只有一组由剩下nmod 5组

成

2.插入排序寻找中位数

3.对2中找出的中位数递归调用SELECT，找出其中的中位数

4.按3找出的中位数进行划分

5.如果i==k返回，i<k在低位区间递归调用SELECT i>k在高位区间递归调用SELECT

其时间复杂度

T(n)=T(n/5)+T(7*n/10+6)+O(n)

其中T(7*n/10+6)是因为步骤5中的最多要在7*n/10+6个数中进行查找

经计算，其时间复杂度为:

O(n)