二分图的最大匹配

      二分图指的是这样一种图，其所有顶点可以分成两个集合X和Y，其中X或Y中任意两个在同一集合中的点都不相连，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。

     二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。

      增广路径的定义(也称增广轨或交错轨)：
　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路径的定义可以推出下述4个结论：
        1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
        2－P上所有第奇数条边都不在M中，所有第偶数条边都出现在M中。
　　 3－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。所谓“取反”即把P上所有第奇数条边(原不在M中)加入到M中，并把P中所有第偶数条边(原在M中)从M中删除，则新的匹配数就比原匹配数多了1个。（增广路顾名思义就是使匹配数增多的路径）
        4－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

   最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：
     初始时最大匹配为空
      while 找得到增广路径
               do 把增广路径加入到最大匹配中去
      可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性。（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。）

      算法的思路是不停的找增广路径, 并增加匹配的个数,增广路径顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径"，也就是说这条由图的边组成的路径， 它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过。这样交错进行，显然他有奇数条边。那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推。也就是将所有的边进行"反色"，容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对。另外，单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错路径。可以证明。当不能再找到增广路径时，就得到了一个最大匹配，这也就是匈牙利算法的思路。

3个重要结论：

最小点覆盖数： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜N｜－最大匹配数
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i'，如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，设二分图最大匹配为m，则结果就是n-m。
二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边，求m最大值。
如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数。

例题：

http://poj.org/problem?id=1469  COURSES

有了匈牙利算法的基础，该题就是一道非常简单的题目了：该题给出P门课程，N个学生，问能否从中选出P个学生，使每个学生上不同的课，且每个课程有一个学生。典型的二分图匹配的问题，我们只要计算最大二分图匹配数，如果和课程数相同就输出YES，否则输出NO。

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1. //poj_1469  
2. /*==================================================*\ 
3. | 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现） 
4. | INIT: g[][]邻接矩阵; 
5. | 优点：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。 
6. | 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE） 
7. ==================================================*/  
8. #include<stdio.h>  
9. #include<memory.h>  
10.   
11. bool g[110][310]; //邻接矩阵，true代表有边相连  
12. bool flag,visit[310];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
13. int match[310];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
14. int p,n;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目   
15.   
16. // 匈牙利算法  
17. bool dfs(int u)  
18. {  
19.     for (int i = 1; i <= n; ++i)  
20.     {  
21.         if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过  
22.         {  
23.             visit[i] = true;   //标记i为已查找过  
24.             if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
25.             {  
26.                 match[i] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
27.                 return true;   //返回查找成功  
28.             }  
29.         }  
30.     }  
31.     return false;  
32. }  
33.   
34. int main(void)  
35. {  
36.     int i,j,k,t,v,ans;  
37.     scanf("%d",&t);  
38.     while (t--)  
39.     {  
40.           scanf("%d %d", &p, &n);  
41.           for (i = 1; i <= p; i++)  
42.           {  
43.               for (j = 1; j <= n; j++)  
44.                   g[i][j] = false;  
45.           }  
46.           for (i = 1; i <= n; i++)  
47.               match[i] = -1;  
48.           flag = true;  
49.           for (i = 1; i <= p; i++)  
50.           {  
51.               scanf("%d",&k);  
52.               if (k == 0)  
53.                  flag = false;  
54.               while (k--)  
55.               {  
56.                     scanf("%d",&v);  
57.                     g[i][v]  = true;  
58.               }  
59.           }  
60.           if (flag)  
61.           {  
62.                ans = 0;  
63.                for (i = 1; i <= p; i++)  
64.                {  
65.                    memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
66.                    if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
67.                        ans++;  
68.                }  
69.                if (ans == p)  
70.                    puts("YES");  
71.                else  
72.                    puts("NO");  
73.           }   
74.           else  
75.               puts("NO");  
76.     }  
77.       
78.     return 0;  
79. }  

pku 2446 二分图最大匹配的应用

http://poj.org/problem?id=2446   Chessboard

题意：给出一个矩形N*M棋盘，有K个格子是空洞，然后用2*1的矩形，对所有非空洞的格子进行覆盖，如果可以全部覆盖，就puts("YES");
算法：建立二分图，用匈牙利算法；
我们分别对所有的格子进行标号1.。。N*M
将问题转化为二分图最大匹配问题。将棋盘按国际象棋棋盘那样添上黑白两种颜色，这样的话，黑色和白色的格子就构成了二分图的两个集合，即相邻的两个格子不会属于同个集合的。然后从上到下，从左到右对格子进行编号（除了洞）,相邻的两格用边相连就构成一个二分图。然后求出最大匹配。。如果最大匹配+K=N*M就输出YES。。

二分图建图就是对于每一个不是洞的点，往4个方向扩展，如果哪个方向有不是洞的点，那么就可以连上一条边，然后我们再求这个二分图的最大匹配，然后判断它是否是一个完备匹配（即所有点都在匹配边上的匹配）
二分图永远是单向的，本题中的二分图中的x和y是一样的，但是即使这样也不能认为这个二分图是双向的，在本题通过上面的方法建图以后，我们只要求出最大独立集的个数是不是等于洞的个数，或者判断这个二分图是不是完备的就行了。

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1. //poj_2446  
2. /*==================================================*\ 
3. | 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现） 
4. | INIT: g[][]邻接矩阵; 
5. | 优点：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。 
6. | 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE） 
7. ==================================================*/  
8. #include<stdio.h>  
9. #include<memory.h>  
10.   
11. #define MAX 1089 //33*33  
12. bool g[MAX][MAX]; //邻接矩阵，true代表有边相连  
13. bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
14. int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
15. int cnt;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
16. bool hole[MAX][MAX];  
17. int id[MAX][MAX];  
18.   
19. // 匈牙利算法  
20. bool dfs(int u)  
21. {  
22.     for (int i = 1; i <= cnt; ++i)  
23.     {  
24.         if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过  
25.         {  
26.             visit[i] = true;   //标记i为已查找过  
27.             if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
28.             {  
29.                 match[i] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
30.                 return true;   //返回查找成功  
31.             }  
32.         }  
33.     }  
34.     return false;  
35. }  
36. int MaxMatch()  
37. {  
38.     int i,sum=0;  
39.     memset(match,-1,sizeof(match));  
40.     for(i = 1 ; i <= cnt ; ++i)  
41.     {  
42.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
43.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
44.         {  
45.             sum++;  
46.         }  
47.     }  
48.     return sum;  
49. }  
50.   
51. int main(void)  
52. {  
53.     int i,j,k,m,n,ans,y,x;  
54.     while (scanf("%d %d %d",&m,&n,&k)!=EOF)  
55.     {  
56.           memset(g,false,sizeof(g));  
57.           memset(hole,false,sizeof(hole));  
58.           for (i = 1; i <= k; ++i)  
59.           {  
60.               scanf("%d %d",&y,&x);  
61.               hole[x][y] = true;  
62.           }  
63.           if((m*n-k)&1)   //奇偶剪枝  
64.           {  
65.               puts("NO");  
66.               continue;  
67.           }  
68.           cnt = 0;  
69.   
70.           for (i = 1; i <= m; ++i)  
71.           {  
72.               for (j = 1; j <= n; ++j)  
73.               {  
74.                   if(hole[i][j] == false)   //对没有涂黑的点进行标号  
75.                   {  
76.                       id[i][j] = ++cnt;  
77.                   }  
78.               }  
79.           }  
80.           for (i = 1; i <= m; ++i)  
81.           {  
82.               for (j = 1; j <= n; ++j)  
83.               {  
84.                   if(hole[i][j] == false)  
85.                   {  
86.                       if(i-1>0 && hole[i-1][j] == false)   //建图。。要注意边界问题  
87.                           g[ id[i][j] ][ id[i-1][j] ] = true;  
88.                       if(i+1<=m && hole[i+1][j] == false)  
89.                           g[ id[i][j] ][ id[i+1][j] ] = true;  
90.                       if(j-1>0 && hole[i][j-1] == false)  
91.                           g[ id[i][j] ][ id[i][j-1] ] = true;  
92.                       if(j+1<=n && hole[i][j+1] == false)  
93.                           g[ id[i][j] ][ id[i][j+1] ] = true;  
94.                   }  
95.               }  
96.           }  
97.   
98.           ans = MaxMatch();  
99.           if (ans == cnt)  
100.               puts("YES");  
101.           else  
102.               puts("NO");  
103.     }  
104.       
105.     return 0;  
106. }  

静态邻接表模板：

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1. //poj_2446  
2. /*==================================================*\ 
3. | 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现） 
4. | 邻接表方法来实现; 
5. | 优点：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。 
6. | 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE） 
7. ==================================================*/  
8. #include<stdio.h>  
9. #include<memory.h>  
10.   
11. #define MAX 1089 //33*33  
12. bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
13. int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
14. int cnt;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
15. bool hole[MAX][MAX];  
16. int id[MAX][MAX];  
17. int head[MAX];  
18.   
19. struct edge  
20. {  
21.     int to,next;  
22. }e[100005];  
23. int index;  
24.   
25. void addedge(int u,int v)  
26. {   //向图中加边的算法，注意加上的是有向边  
27.     //u为v的后续节点既是v---->u  
28.     e[index].to=v;  
29.     e[index].next=head[u];  
30.     head[u]=index;  
31.     index++;  
32. }  
33.   
34. // 匈牙利（邻接表）算法  
35. bool dfs(int u)  
36. {  
37.     int i,v;  
38.     for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)  
39.     {  
40.         v = e[i].to;  
41.         if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过  
42.         {  
43.             visit[v] = true;   //标记v为已查找过  
44.             if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
45.             {  
46.                 match[v] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
47.                 return true;   //返回查找成功  
48.             }  
49.         }  
50.     }  
51.     return false;  
52. }  
53. int MaxMatch()  
54. {  
55.     int i,sum=0;  
56.     memset(match,-1,sizeof(match));  
57.     for(i = 1 ; i <= cnt ; ++i)  
58.     {  
59.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
60.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
61.         {  
62.             sum++;  
63.         }  
64.     }  
65.     return sum;  
66. }  
67.   
68. int main(void)  
69. {  
70.     int i,j,k,m,n,ans,y,x;  
71.     while (scanf("%d %d %d",&m,&n,&k)!=EOF)  
72.     {  
73.           memset(hole,false,sizeof(hole));  
74.           for (i = 1; i <= k; ++i)  
75.           {  
76.               scanf("%d %d",&y,&x);  
77.               hole[x][y] = true;  
78.           }  
79.           if((m*n-k)&1)   //奇偶剪枝  
80.           {  
81.               puts("NO");  
82.               continue;  
83.           }  
84.           cnt = 0;  
85.           index = 1;  
86.   
87.           for (i = 1; i <= m; ++i)  
88.           {  
89.               for (j = 1; j <= n; ++j)  
90.               {  
91.                   if(hole[i][j] == false)   //对没有涂黑的点进行标号  
92.                   {  
93.                       id[i][j] = ++cnt;  
94.                   }  
95.               }  
96.           }  
97.           memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化  
98.           for (i = 1; i <= m; ++i)  
99.           {  
100.               for (j = 1; j <= n; ++j)  
101.               {  
102.                   if(hole[i][j] == false)  
103.                   {  
104.                       if(i-1>0 && hole[i-1][j] == false)   //建图。。要注意边界问题  
105.                           addedge(id[i][j],id[i-1][j]);  
106.                       if(i+1<=m && hole[i+1][j] == false)  
107.                           addedge(id[i][j],id[i+1][j]);  
108.                       if(j-1>0 && hole[i][j-1] == false)  
109.                           addedge(id[i][j],id[i][j-1]);  
110.                       if(j+1<=n && hole[i][j+1] == false)  
111.                           addedge(id[i][j],id[i][j+1]);  
112.                   }  
113.               }  
114.           }  
115.   
116.           ans = MaxMatch();  
117.           if (ans == cnt)  
118.               puts("YES");  
119.           else  
120.               puts("NO");  
121.     }  
122.     return 0;  
123. }  

http://poj.org/problem?id=1274

题意描述：
农夫约翰上个星期刚刚建好了他的新牛棚，他使用了最新的挤奶技术。不幸的是，由于工程问题，每个牛栏都不一样。第一个星期，农夫约翰随便地让奶牛们进入牛栏，但是问题很快地显露出来：每头奶牛都只愿意在她们喜欢的那些牛栏中产奶。上个星期，农夫约翰刚刚收集到了奶牛们的爱好的信息（每头奶牛喜欢在哪些牛栏产奶）。一个牛栏只能容纳一头奶牛，当然，一头奶牛只能在一个牛栏中产奶。
输入：第一行 两个整数，N (0 <= N <= 200) 和 M (0 <= M <= 200) 。N 是农夫约翰的奶牛数量，M 是新牛棚的牛栏数量。
第二行到第N+1行 一共 N 行，每行对应一只奶牛。第一个数字 (Si) 是这头奶牛愿意在其中产奶的牛栏的数目 (0 <= Si <= M) 。后面的 Si 个数表示这些牛栏的编号。牛栏的编号限定在区间 (1..M) 中，在同一行，一个牛栏不会被列出两次。
输出：
只有一行。输出一个整数，表示最多能分配到的牛栏的数量。

给出奶牛们的爱好的信息，计算最大分配方案。 

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1. #include<stdio.h>  
2. #include<memory.h>  
3.   
4. #define MAX 202  
5. bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
6. int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
7. int cow, stall;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
8. int head[MAX];  
9.   
10. struct edge  
11. {  
12.     int to,next;  
13. }e[3000];  
14. int index;  
15.   
16. void addedge(int u,int v)  
17. {   //向图中加边的算法，注意加上的是有向边  
18.     //u为v的后续节点既是v---->u  
19.     e[index].to=v;  
20.     e[index].next=head[u];  
21.     head[u]=index;  
22.     index++;  
23. }  
24.   
25.   
26. // 匈牙利（邻接表）算法  
27. bool dfs(int u)  
28. {  
29.     int i,v;  
30.     for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)  
31.     {  
32.         v = e[i].to;  
33.         if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过  
34.         {  
35.             visit[v] = true;   //标记v为已查找过  
36.             if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
37.             {  
38.                 match[v] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
39.                 return true;   //返回查找成功  
40.             }  
41.         }  
42.     }  
43.     return false;  
44. }  
45. int MaxMatch()  
46. {  
47.     int i,sum=0;  
48.     memset(match,-1,sizeof(match));  
49.     for(i = 1 ; i <= cow ; ++i)  
50.     {  
51.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
52.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
53.         {  
54.             sum++;  
55.         }  
56.     }  
57.     return sum;  
58. }  
59.   
60. int main(void)  
61. {  
62.     int i,j,k,ans,m;  
63.     while (scanf("%d %d",&cow, &stall)!=EOF)  
64.     {  
65.         memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化  
66.         index = 1;  
67.         for (i = 1; i <= cow; ++i)  
68.         {  
69.             scanf("%d",&k);  
70.             for (j = 0; j < k; ++j)  
71.             {  
72.                 scanf("%d",&m);  
73.                 addedge(i , m);  
74.             }  
75.         }  
76.   
77.         ans = MaxMatch();  
78.         printf("%d\n",ans);  
79.     }  
80.     return 0;  
81. }  

http://poj.org/problem?id=1325

分析：显然，机器重启次数是两台机器需要使用的不同模式的个数。把每个任务看成一条边，即A机器的每个模式看成一个X节点，B机器的每个模式看成一个Y节点，任务i为边（ai, bi）。本题即求最少的点让每条边至少与其中的一点关联，即求一个点的最小覆盖。可以证明，这个最小覆盖就是该二分图的最大匹配数。故二分图匹配的模型就建好了。注意到开始时机器都处于0模式，所以如果某个任务可以在0模式下执行，则我们可以不考虑该任务，假定它已经被完成即可，也就是建图的时候不要把与0关联的边加到二分图中就可以得到正确的解。

[cpp]  view plain  copy

1. #include<stdio.h>  
2. #include<memory.h>  
3.   
4. #define MAX 105  
5. bool visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
6. int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
7. int n,m;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
8. int head[MAX];  
9.   
10. struct edge  
11. {  
12.     int to,next;  
13. }e[1005];  
14. int index;  
15.   
16. void addedge(int u,int v)  
17. {   //向图中加边的算法，注意加上的是有向边  
18.     //u为v的后续节点既是v---->u  
19.     e[index].to=v;  
20.     e[index].next=head[u];  
21.     head[u]=index;  
22.     index++;  
23. }  
24.   
25. // 匈牙利（邻接表）算法  
26. bool dfs(int u)  
27. {  
28.     int i,v;  
29.     for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)  
30.     {  
31.         v = e[i].to;  
32.         if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过  
33.         {  
34.             visit[v] = true;   //标记v为已查找过  
35.             if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
36.             {  
37.                 match[v] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
38.                 return true;   //返回查找成功  
39.             }  
40.         }  
41.     }  
42.     return false;  
43. }  
44. int MaxMatch()  
45. {  
46.     int i,sum=0;  
47.     memset(match,-1,sizeof(match));  
48.     for(i = 1 ; i < n ; ++i)  
49.     {  
50.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
51.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
52.         {  
53.             sum++;  
54.         }  
55.     }  
56.     return sum;  
57. }  
58.   
59. int main(void)  
60. {  
61.     int i,j,k,ans,y,x;  
62.     while (scanf("%d",&n),n)  
63.     {  
64.         scanf("%d %d",&m,&k);  
65.         index = 1;  
66.         memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化  
67.   
68.         for (i = 1; i <= k; ++i)  
69.         {  
70.             scanf("%d %d %d",&j,&x,&y);  
71.             if(x && y)  
72.                 addedge(x,y);  
73.         }  
74.         ans = MaxMatch();  
75.         printf("%d\n",ans);  
76.     }  
77.     return 0;  
78. }  

动态邻接表模板：

[cpp]  view plain  copy

1. #include<iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. int n,m,k;  
5. bool visit[105];    //每次找增广路时对Y中点是否访问  
6. int match[105];   //Y中点匹配的X中点的位置  
7.   
8. struct edge  
9. {  
10.     int from;  
11.     int to;  
12.     edge* next;  
13.     edge()  
14.     {  
15.         from = to = 0;  
16.         next = NULL;  
17.     }  
18. };  
19. edge* List[105];  
20.   
21. void add_edge(int f,int t)  
22. {  
23.     edge* node = new edge();  
24.     node->from = f;  
25.     node->to = t;  
26.     node->next = List[f];  
27.     List[f] = node;  
28. }  
29.   
30. // 匈牙利（邻接表）算法    
31. bool dfs(edge* node)  
32. {  
33.     int i;    
34.     for(; node != NULL; node = node->next)    
35.     {    
36.         i = node->to;   
37.         if(visit[i] == NULL)   //如果节点v与u相邻并且未被查找过    
38.         {    
39.             visit[i] = true;   //标记v为已查找过    
40.             if(match[i] == -1 || dfs( List[match[i]] ) )   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径    
41.             {    
42.                 match[i] = node->from;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）    
43.                 return true;   //返回查找成功    
44.             }    
45.         }    
46.     }    
47.     return false;    
48. }  
49.   
50. int main(void)  
51. {  
52.     int i,x,y;  
53.     while(scanf("%d",&n)!=EOF && n!=0)  
54.     {  
55.         for(i=0;i<=n;i++)//链表清空，一开始没清空，错了很多次  
56.         {  
57.             List[i] = NULL;  
58.         }  
59.         memset(match,-1,sizeof(match));  
60.         scanf("%d%d",&m,&k);  
61.         while(k--)  
62.         {  
63.             scanf("%d%d%d",&i,&x,&y);  
64.             if(x && y)  
65.                 add_edge(x,y);  
66.         }  
67.         int sum = 0;  
68.         for(i=1;i<=n;i++)  
69.         {  
70.             memset(visit,false,sizeof(visit));  
71.             if( dfs(List[i]) )  
72.                 sum++;  
73.         }  
74.         printf("%d\n",sum);  
75.     }  
76.     return 0;  
77. }  

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1281棋盘游戏

又是一种建图的方式，对于一个坐标，x ， y 可以分成两个不同的集合，如果该点满足某种性质的话，就在 x ， y 上连一条线，本题就是这样的……
本题要求关键点，那么只需要对于每个可行点进行删点，然后看看得出的最大匹配是否小于不删点的解，如果小于，则是关键点……统计一下即可。 
代码：

[cpp]  view plain  copy

1. /*==================================================*\ 
2. | 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现） 
3. | INIT: g[][]邻接矩阵; 
4. | 优点：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。 
5. | 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE） 
6. ==================================================*/  
7. #include<stdio.h>  
8. #include<memory.h>  
9.   
10. bool g[101][101]; //邻接矩阵，true代表有边相连  
11. bool visit[101];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
12. int match[101];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
13. int n,m,k;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目   
14.   
15. // 匈牙利算法  
16. bool dfs(int u)  
17. {  
18.     for (int i = 1; i <= m; ++i)  
19.     {  
20.         if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过  
21.         {  
22.             visit[i] = true;   //标记i为已查找过  
23.             if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
24.             {  
25.                 match[i] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  
26.                 return true;   //返回查找成功  
27.             }  
28.         }  
29.     }  
30.     return false;  
31. }  
32.   
33. inline int MaxMatch()  
34. {    
35.     int i,sum=0;    
36.     memset(match,-1,sizeof(match));    
37.     for(i = 1 ; i <= n ; ++i)    
38.     {    
39.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记    
40.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展    
41.         {    
42.             sum++;    
43.         }    
44.     }    
45.     return sum;    
46. }  
47.   
48. int main(void)  
49. {  
50.     int i,j,ans,x,y,num,t=1;  
51.     while (scanf("%d %d %d",&n,&m,&k)!=EOF)  
52.     {  
53.           memset(g,false,sizeof(g));   //初始化  
54.           for (i = 1; i <= k; ++i)  
55.           {  
56.               scanf("%d %d",&x,&y);  
57.               g[x][y] = true;  
58.           }  
59.           ans = MaxMatch();  
60.           num = 0;  
61.           for (i = 1; i <= n; ++i)  
62.           {  
63.               for (j = 1; j <= m; ++j)  
64.               {  
65.                   if(g[i][j] == true)  
66.                   {  
67.                       g[i][j] = false;  
68.                       if(MaxMatch() < ans)  
69.                           num++;  
70.                       g[i][j] = true;  
71.                   }  
72.               }  
73.           }  
74.           printf("Board %d have %d important blanks for %d chessmen.\n",t++,num,ans);  
75.     }  
76.     return 0;  
77. }  

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2819   Swap

题目的意思是，通过一系列交换，让矩阵中A[i, i] (1 <= i <= N)的值全为1。
首先要明确：如果某行或者某列全是0。那怎么换都没办法的。否则，一定能换出来。这个动动脑子想一下可以明白的。

其实就是简单的二分匹配，行和列匹配就可以了，关键是点不在于匹配而在于排序，因为匹配后的match存储的是列的匹配对象，所以只需要把列从小到大(或者从大到小，因为是special judge，所以主、副对角线都是一样)排序，每排序一次就保存当前交换了的下标，注意这里不能用冒泡而最好用选择，因为题目要求len不能大于1000，,这里纠结了一下，郁闷死了)
其次要明确：只交换行或者只交换列都是可以换出来的，这个动动脑子想一下也可以明白的。

明确了这两点，这问题就变成了二分图的匹配问题。
二分图左边的节点为每一行的行号，二分图右边的节点为每一行中出现的“1”对应的列号，这样用匈牙利算法就可以匹配了。

[cpp]  view plain  copy

1. /* 
2. 最大二分匹配+选择排序 
3. 开始压根没想到会是二分图匹配问题，做题太少，只能说水平不够吧。 
4. 将行数放在左边，右边为连接该行为1的所在列数，再求二分图的最大匹配，若能完全匹配，则存在。 
5. 再用选择排序的方法，次算出行之间的交换次数，并保存结果。 
6. */  
7. #include<iostream>  
8. #include<cstdio>  
9. using namespace std;  
10. #include<memory.h>  
11.   
12. bool visit[101];    //记录V2中的某个点是否被搜索过  
13. int match[101];   //记录与V2中的点匹配的点的编号  
14. int n;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
15. bool flag;  
16. int a[101],b[101],head[101];  
17.   
18. struct edge    
19. {  
20.     int to,next;    
21. }e[5005];    
22. int index;    
23.     
24. void addedge(int u,int v)    
25. {   //向图中加边的算法，注意加上的是有向边    
26.     //u为v的后续节点既是v---->u    
27.     e[index].to=v;    
28.     e[index].next=head[u];    
29.     head[u]=index;    
30.     index++;  
31. }  
32.   
33. // 匈牙利（邻接表）算法    
34. bool dfs(int u)    
35. {    
36.     int i,v;  
37.     for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)    
38.     {    
39.         v = e[i].to;    
40.         if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过    
41.         {    
42.             visit[v] = true;   //标记v为已查找过    
43.             if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径    
44.             {    
45.                 match[v] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）    
46.                 return true;   //返回查找成功    
47.             }  
48.         }  
49.     }  
50.     return false;    
51. }  
52.   
53. int MaxMatch()  
54. {    
55.     int i,sum=0;  
56.     memset(match,-1,sizeof(match));  
57.     for(i = 1 ; i <= n ; ++i)  
58.     {  
59.         memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记    
60.         if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展    
61.         {  
62.             sum++;    
63.         }  
64.         else  
65.         {  
66.             flag = false;  
67.             break;  
68.         }  
69.     }    
70.     return sum;    
71. }  
72. inline bool scan_d(int &num)  //  这个就是 加速的 关键了   
73. {  
74.     char in;bool IsN=false;  
75.     in=getchar();  
76.     if(in==EOF)  
77.         return false;  
78.     while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();  
79.     if(in=='-')   { IsN=true;num=0;}  
80.     else num=in-'0';  
81.     while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9')  
82.     {  
83.         num*=10,num+=in-'0';  
84.     }  
85.     if(IsN)  
86.         num=-num;  
87.     return true;  
88. }  
89.   
90. int main(void)  
91. {  
92.     int i,j,ans,k,cnt,value;  
93.     while (scanf("%d",&n)!=EOF)  
94.     {  
95.         index = 1;  
96.         flag = true;  
97.         memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化，否则会超时的    
98.         for (i = 1; i <= n; i++)  
99.         {  
100.             for (j = 1; j <= n; j++)  
101.             {  
102.                 scan_d(value);  
103.                 if(value)  
104.                     addedge(i,j);  
105.             }  
106.         }  
107.         ans = MaxMatch();  
108.         if(!flag)  
109.             puts("-1");  
110.         else  
111.         {  
112.             cnt = 0;  
113.             for (i = 1; i <= n; i++)  
114.             {  
115.                 k = i;  
116.                 for(j = i; j <= n; j++)  
117.                 {  
118.                     if(match[j] < match[k])  
119.                         k = j;  
120.                 }  
121.                 if(k != i)  
122.                 {  
123.                     a[cnt]=i;  
124.                     b[cnt++]=k;  
125.                     swap(match[i] , match[k]);  
126.                 }  
127.             }  
128.             printf("%d\n",cnt);  
129.             for (i = 0; i < cnt; i++)  
130.                 printf("C %d %d\n",a[i],b[i]);  
131.         }  
132.     }  
133.     return 0;  
134. }