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二分查找又称为折半查找，就是通多对有序数列不断二分，将复杂度降至O(logn),二分查找尽管可以用递归实现，但是一般把二分写成非递归的。

问题引入

有一个有序数组，要求针对的某个元素v,如果它存在于数组中，返回他的第一次出现的位置，如果不存在,返回一个下标i,在此处插入v,其他元素后移，数组仍然有序，说白点就是找到第一个>=v的元素的下标
比如数组a[10] = {1,2,2,2,4,5,6,7,8,9},v = 2时返回下标[1],v = 3时返回下标[4]。
所以核心代码如下:

int lower_bound(int *a,int x,int y,int v)//返回第一个出现的位置，若不存在在此处插入v后仍然有序
//x表示开始查找的开始位置，y表示结束位置即返回值 ∈【x,y】
    while(x < y)//结束循环的条件 左端点>=右端点
    {
        m = x+(y-x)/2;//根据分治思想要尽可能平均分开两部分查找范围
        if(a[m] >= v) y = m;//出现相等元素继续向前找
        else x = m + 1;//针対找过了的情况,像回退一个
    }
    return x;

进一步分析这段代码是如何放缩的:
因为我们要查找的是第一个>=v的元素,针对a[m]和v的关系可分为如下三种：
1.a[m] = v,我们要找>=v的第一个元素,所以下标可能出现在m左侧，也可能就是m(m-1下标的元素可能小于v了),所以查找区间变为[x,m],就是y = m。
2.a[m] > v,我们要找>=v的第一个元素，所以下标可能出现在m后面，但是可能是m，所以[x,m]，即y = m。
3.a[m] < v,我们要找**>=v**的第一个元素,此时已将<了，只能往前面找，所以[m+1,y],即x = m+1。

#include <iostream>
using namespace std;

//找到第一个>=key的元素的下标
int lower_bound(int *a,int x,int y,int v)//返回第一个出现的位置，若不存在在此处插入v后仍然有序
{
    int m;
    while(x < y)
    {
        m = x+(y-x)/2;
        if(a[m] >= v) y = m;//出现相等元素继续向前赵
        else x = m + 1;//针対找过了的情况
    }
    return x;
}
int main()
{
    int a[10] = {1,2,2,2,3,3,7,8,9,10};
    int v = 2;
    cout << lower_bound(a,0,9,v) << endl;
    cout << upper_bound(a,0,9,v) << endl;
    return 0;
}

运行结果如下
1
4

upper_bound

实际上这里upper_bound已经实现了STL中的同名函数，下面看一下STL中的源码:
与上面思想相同，不同的是采用first+half的方法来寻找合适位置，当half = 0时候就锁定了唯一的值,为了方便理解源码下面一段是我改编的

template <class _ForwardIter, class _Tp, class _Distance>
_ForwardIter __lower_bound(_ForwardIter __first, _ForwardIter __last,
                           const _Tp& __val, _Distance*) 
{
  _Distance __len = 0;
  distance(__first, __last, __len);
  _Distance __half;
  _ForwardIter __middle;
 
  while (__len > 0) {
    __half = __len >> 1;
    __middle = __first;
    advance(__middle, __half);
    if (*__middle < __val) {
      __first = __middle;
      ++__first;
      __len = __len - __half - 1;
    }
    else
      __len = __half;
  }
  return __first;
}

int lower_bound_STL(int *a,int first,int last,int v)
{
    int half; //这个half就是查找区间的一半，就是这个二分的核心
    int len = last - first;//初始时查找区间是整个区间
    int middle;//都是通过first + 区间长度来筛选的
    while(len > 0)//当len = 0的时候就是我们要找的值了
    {
        half = len >> 1;
        middle = first+half;
        if(a[middle] < v)
        {
            first = middle + 1;
            len = len - half -1;//与上面分析类似就是在[m+1,y]中查找
        }
        else len = half;// [x,m]中查找
    }
    return first;
}

至此，lower_bound已经结束了，upper_bound与它类似，查找的是第一个大于v的元素的下标(地址),只要做如下改变

if(a[m] <= v) x = m+1;
else y = m;

思想也是一样的，根据><=确定查找区间。

延伸

1.在STL中一般采用半开半闭区间，这样的好处是只要相减就可以得到v的个数。
eg：数组a[10] = {1,2,2,2,4,5,6,7,8,9},v = 2时返回下标[1],v = 3时返回下标[4]，那么2的个数就是4-1=3。
2.类似我们还可以写出返回最后一个>=v的元素的下标:

int bigandequal(int x,int y,int *a)
{
    int m;
    while(x < y)
    {
        m = x+(y-x+1)/2;
        if(a[m] <= v) x = m;
        else y = m-1;
    }
    return x;
}

例题(二分答案)

题目

#include <iostream>
#define N 200100
using namespace std;
int t,n,k;
int judge(int m,char *light)
{
    int cnt = 0;
    for(int i = 0;i<n;)
    {
        if(light[i] == '0')
        {
            i++;
            continue;
        }
        else
        {
            cnt++;
            i += m;
        }

    }
    return cnt;
}
int binsearch(char *light)
{
    int x = 1,y = n;
    int m;
    while(x < y)
    {
        m = (x+y)/2;
        if(judge(m,light) <= k) y = m;
        else  x = m+1;
    }
    return x;
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        char light[N];
        cin >> n >> k;
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cin >> light[i] ;
        }
        cout << binsearch(light) << endl;
    }
    return 0;
}